Invertibility Of A Moving Average Prozess

2 1 Moving Average Models MA Modelle. Time-Serienmodelle, die als ARIMA-Modelle bekannt sind, können autoregressive Begriffe und gleitende durchschnittliche Ausdrücke enthalten In Woche 1 haben wir einen autoregressiven Begriff in einem Zeitreihenmodell für die Variable xt gelernt, ist ein verzögerter Wert von xt , Ein Verzögerung 1 autoregressiver Begriff ist x t-1 multipliziert mit einem Koeffizienten Diese Lektion definiert gleitende durchschnittliche Ausdrücke. Ein gleitender Durchschnittsterm in einem Zeitreihenmodell ist ein vergangener Fehler, multipliziert mit einem Koeffizienten. Letztes Upset N 0, Sigma 2w, Bedeutung Dass die wt identisch, unabhängig verteilt sind, jeweils mit einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der gleichen Varianz. Das 1-stufige gleitende Durchschnittsmodell, das mit MA 1 bezeichnet ist, ist. Xt mu wt theta1w. Das 2. geordnete gleitende Durchschnittsmodell, das mit MA 2 bezeichnet wird, ist. Xt mu wt theta1w theta2w. Das gängige gleitende durchschnittliche Modell, das mit MA q bezeichnet wird, ist. Xt mu wt theta1w theta2w punkte thetaq. Note Viele Lehrbücher und Softwareprogramme definieren das Modell mit negativen Vorzeichen vor den Begriffen Dies ändert nicht die allgemeinen theoretischen Eigenschaften des Modells, obwohl es die algebraischen Zeichen der geschätzten Koeffizientenwerte und nicht quittierten Begriffe in Formeln für ACFs und Abweichungen Sie müssen Ihre Software überprüfen, um zu überprüfen, ob negative oder positive Zeichen verwendet wurden, um das geschätzte Modell R korrekt zu schreiben. R verwendet positive Zeichen in seinem zugrunde liegenden Modell, wie wir hier sind. Die theoretischen Eigenschaften einer Zeitreihe mit Ein MA 1 Modell. Hinweis, dass der einzige Wert ungleich Null in der theoretischen ACF ist für lag 1 Alle anderen Autokorrelationen sind 0 Also ein Beispiel ACF mit einer signifikanten Autokorrelation nur bei lag 1 ist ein Indikator für eine mögliche MA 1 Modell. Für interessierte Studenten, Beweise dieser Eigenschaften sind ein Anhang zu diesem Handzettel. Beispiel 1 Angenommen, dass ein MA 1 - Modell xt 10 wt 7 w t-1 ist, wobei wt Overset N 0,1 Somit ist der Koeffizient 1 0 7 Die theoretische ACF ist gegeben durch Von diesem ACF folgt. Die Plot, die gerade gezeigt wird, ist die theoretische ACF für eine MA 1 mit 1 0 7 In der Praxis, ein Beispiel gewonnen t in der Regel ein solches klares Muster Mit R, simulierten wir n 100 Probenwerte mit dem Modell xt 10 wt 7 W t-1 wo w t. iid N 0,1 Für diese Simulation folgt ein Zeitreihenplot der Stichprobendaten Wir können aus dieser Handlung viel erzählen. Die Stichprobe ACF für die simulierten Daten folgt Wir sehen eine Spike bei Verzögerung 1 Gefolgt von im Allgemeinen nicht signifikanten Werten für Verzögerungen nach 1. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF nicht mit dem theoretischen Muster der zugrunde liegenden MA 1 übereinstimmt, was bedeutet, dass alle Autokorrelationen für Verzögerungen nach 1 0 sind. Eine andere Probe hätte eine etwas andere Probe ACF Unten gezeigt, aber wahrscheinlich die gleichen breiten Features haben. Theroretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA 2 Modell. Für das MA 2 Modell sind die theoretischen Eigenschaften die folgenden. Hinweis, dass die einzigen Werte ungleich Null in der theoretischen ACF sind für Lags 1 Und 2 Autokorrelationen für höhere Verzögerungen sind 0 Also, ein Beispiel ACF mit signifikanten Autokorrelationen bei Verzögerungen 1 und 2, aber nicht signifikante Autokorrelationen für höhere Verzögerungen zeigt ein mögliches MA 2 - Modell an. N 0,1 Die Koeffizienten sind 1 0 5 und 2 0 3 Da es sich hierbei um einen MA 2 handelt, wird der theoretische ACF nur ungleich Null-Werte nur bei den Verzögerungen 1 und 2 haben. Die Werte der beiden Nicht-Null-Autokorrelationen sind. Ein Diagramm der theoretischen ACF folgt. Wenn fast immer der Fall ist, wurden die Beispieldaten gewonnen Verhalten sich ganz so perfekt wie die Theorie Wir simulierten n 150 Sample-Werte für das Modell xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 wobei w t. iid N 0,1 Die Zeitreihen-Plot der Daten folgt Wie bei den Zeitreihen Plot für die MA 1 Beispieldaten, können Sie t viel davon erzählen. Das Beispiel ACF für die simulierten Daten folgt Das Muster ist typisch für Situationen, in denen ein MA 2 Modell nützlich sein kann Es gibt zwei statistisch signifikante Spikes bei den Verzögerungen 1 und 2 gefolgt Durch nicht signifikante Werte für andere Lags Beachten Sie, dass aufgrund des Stichprobenfehlers die Stichprobe ACF nicht mit dem theoretischen Muster genau übereinstimmte. ACF für General MA q Modelle. Eigenschaft von MA q-Modelle im Allgemeinen ist, dass es keine Null-Autokorrelationen für die erste gibt Q Verzögerungen und Autokorrelationen 0 für alle Verzögerungen q. Non-Eindeutigkeit der Verbindung zwischen Werten von 1 und Rho1 in MA 1 Modell. Im MA 1 Modell gibt für jeden Wert von 1 der reziproke 1 1 den gleichen Wert für ein Beispiel , Benutze 0 5 für 1 und verwende dann 1 0 5 2 für 1 Du bekommst in beiden Fällen rho1 0 4. Um eine theoretische Einschränkung zu erfüllen, die Invertierbarkeit genannt wird, beschränken wir MA 1 - Modelle, Werte mit einem absoluten Wert kleiner als 1 zu haben Gegeben, 1 0 5 wird ein zulässiger Parameterwert sein, wohingegen 1 1 0 5 2 nicht. Unterstützung von MA Modellen ist. Ein MA-Modell soll invertierbar sein, wenn es algebraisch äquivalent zu einer konvergierenden unendlichen Ordnung ist AR-Modell Durch konvergierende, wir Dass die AR-Koeffizienten auf 0 abnehmen, wenn wir uns in der Zeit zurückziehen. Unverträglichkeit ist eine Einschränkung, die in die Zeitreihen-Software programmiert ist, die verwendet wird, um die Koeffizienten von Modellen mit MA-Terminen abzuschätzen. Es ist nicht etwas, das wir in der Datenanalyse überprüfen. Weitere Informationen über die Invertierbarkeitsbeschränkung für MA 1 Modelle ist im Anhang angegeben. Advanced Theory Note Für ein MA q Modell mit einem angegebenen ACF gibt es nur ein invertierbares Modell Die notwendige Bedingung für die Invertierbarkeit ist, dass die Koeffizienten Werte haben, so dass die Gleichung 1- 1 y - - qyq 0 hat Lösungen für y, die außerhalb des Einheitskreises liegen. R Code für die Beispiele In Beispiel 1 haben wir die theoretische ACF des Modells xt 10 wt 7w t-1 aufgetragen und dann n 150 Werte aus diesem Modell simuliert und Aufgetragen die Sample-Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten Die R-Befehle, die verwendet wurden, um das theoretische ACF zu zeichnen, waren. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 Verzögerungen von ACF für MA 1 mit theta1 0 7 Verzögerungen 0 10 erzeugt eine Variable namens Lags Das von 0 bis 10 Plot-Verzögerungen reicht, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, Typ h, Haupt-ACF für MA 1 mit theta1 0 7 abline h 0 fügt eine horizontale Achse zum Plot hinzu. Der erste Befehl bestimmt die ACF und Speichert es in einem Objekt namens acfma1 unsere Wahl des Namens. Die Plot-Befehl der 3. Befehl Plots Lags gegenüber den ACF-Werte für Lags 1 bis 10 Die ylab Parameter markiert die y-Achse und der Haupt-Parameter setzt einen Titel auf dem Plot. To sehen Die numerischen Werte des ACF verwenden einfach den Befehl acfma1. Die Simulation und Plots wurden mit den folgenden Befehlen durchgeführt. List ma c 0 7 Simuliert n 150 Werte aus MA 1 x xc 10 fügt 10 hinzu, um Mittel zu machen 10 Simulationsvorgaben bedeuten 0 Plot x, Typ b, Haupt Simuliert MA 1 Daten acf x, xlim c 1,10, Haupt-ACF für simuliert Beispieldaten In Beispiel 2 haben wir die theoretische ACF des Modells xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 aufgetragen und dann n 150 Werte aus diesem Modell simuliert und die Sample-Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten aufgetragen Daten Die verwendeten R-Befehle waren. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2-Verzögerungen 0 10 Plot-Verzögerungen, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, Typ h, Haupt-ACF für MA 2 mit theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 list ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, Typ b, main Simuliert MA 2 Serie acf x, xlim c 1,10, Haupt-ACF für simulierte MA 2 Daten. Appendix Nachweis der Eigenschaften von MA 1 Für interessierte Schüler sind hier Beweise für die theoretischen Eigenschaften des MA 1 Modells. Variante Text xt Text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2w. Wenn h 1, der vorherige ausdruck 1 W 2 Für jeden h 2 ist der vorhergehende Ausdruck 0 Der Grund dafür ist, dass durch die Definition der Unabhängigkeit des wt E wkwj 0 für jedes kj weiter, weil das wt den Mittelwert 0 hat, E wjwj E wj 2 w 2.Für eine Zeitreihe. Geben Sie dieses Ergebnis, um das oben angegebene ACF zu erhalten. Ein invertierbares MA-Modell ist eines, das als ein unendliches Ordnungs-AR-Modell geschrieben werden kann, das so konvergiert, dass die AR-Koeffizienten zu 0 konvergieren, wenn wir uns unendlich zurück bewegen. Wir zeigen die Invertierbarkeit für die MA 1 Modell. Wir ersetzen dann die Beziehung 2 für w t-1 in Gleichung 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. Die Zeit t-2 Gleichung 2 wird. Wir ersetzen dann die Beziehung 4 für w t-2 In Gleichung 3. Zt wt theta1 z - Theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Wenn wir unendlich weitergehen würden, würden wir das unendliche AR-Modell bekommen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z dots. Hinweis jedoch, dass wenn 1 1 die Koeffizienten, die die Verzögerungen von z multiplizieren, unendlich an Größe zunehmen werden, wenn wir uns in der Zeit zurückziehen Um dies zu verhindern, brauchen wir 1 1 Dies ist Die Bedingung für ein invertierbares MA 1 Modell. Unendliche Ordnung MA Modell. In Woche 3 sehen wir, dass ein AR 1 Modell in ein unendliches Auftrag MA Modell umgewandelt werden kann. Xt - mu wt phi1w phi 21w punkte phi k1 w punkte sum phi j1w. Diese Summierung der vergangenen weißen Rauschbegriffe ist als die kausale Darstellung eines AR 1 bekannt. Mit anderen Worten, xt ist ein spezieller Typ von MA mit unendlich vielen Terme Rückkehr in der Zeit Dies ist eine unendliche Ordnung MA oder MA Eine endliche Ordnung MA ist eine unendliche Ordnung AR und jede endliche Ordnung AR ist eine unendliche Ordnung MA. Recall in Woche 1, stellten wir fest, dass eine Voraussetzung für eine stationäre AR 1 ist, dass 1 1 Sei s berechnen die Var xt mit der Kausaldarstellung. Dieser letzte Schritt verwendet eine grundlegende Tatsache über geometrische Serien, die phi1 erfordert 1 sonst die Serie divergiert. Versibilität von MA q Processes. Just, wie wir definieren können ein unendlich befehlen gleitenden durchschnittlichen Prozess Wir können auch einen autoregressiven Prozess unendlich definieren, AR stellt sich heraus, dass jeder stationäre MA q - Prozess als AR-Prozess ausgedrückt werden kann. Angenommen, wir haben einen MA 1 - Prozess mit 0. Auf diese Weise weitergehen, nach n Schritten haben wir. Das Ergebnis ist, dass wir, wenn 1 1, dann diese unendliche Reihe zu einem endlichen Wert konvergiert. Solche MA q Prozesse heißen invertible. Property 1 Wenn 1 1 dann ist der MA 1 Prozess invertierbar. Real Statistics Function The Real Statistik Resource Pack liefert die folgende Array-Funktion, wobei R1 ein q 1-Bereich ist, der die Theta-Koeffizienten des Polynoms enthält, wobei q in der ersten Position ist und 1 in der letzten Position ist. MARoots R1 gibt einen q 3-Bereich zurück, in dem jede Zeile einen Root enthält , Und wo die erste Spalte aus dem wirklichen Teil der Wurzeln besteht, besteht die zweite Spalte aus dem imaginären Teil der Wurzeln und die dritte Spalte enthält den absoluten Wert der Wurzeln. Diese Funktion ruft die in Wurzeln eines Polynoms beschriebene ROOTS-Funktion auf Beachten Sie, dass genau wie bei den ROOTS-Funktionen die MAROots-Funktion die folgenden optionalen Argumente annehmen kann. Die Präzision des Ergebnisses, dh wie nahe an Null ist akzeptabel Dieser Wert ist standardmäßig auf 0 00000001.iter die maximale Anzahl der Iterationen, die bei der Ausführung von Bairstow durchgeführt wurden S Methode Die Voreinstellung ist 50.r, s die Anfangssaatwerte bei der Verwendung von Bairstow s Methode Diese Vorgabe auf Null. Beispiel 1 Bestimmen Sie, ob der folgende MA 3 Prozess invertierbar ist. Wir legen Sie die Arrayformel MAROots B3 B5 im Bereich D3 F5 ein, um zu erhalten Die Ergebnisse in Abbildung 1.Figure 1 Wurzeln eines MA 3 Prozesses. Wir sehen, dass die drei Wurzeln der charakteristischen Gleichung - 605828 1 23715 i - 605828 1 23715 i und -0 87832 Da der absolute Wert der realen Wurzel ist Weniger als 1, schlussfolgern wir, dass der Prozess nicht invertierbar ist. Um die Invertierbarkeitsbedingungen für bewegte durchschnittliche Prozesse. Anderson 3 abgeleiteten Bedingungen für die allgemeine Moving Average Prozess, der Ordnung q, um invertierbar oder Borderline nicht-invertierbar Er nannte die Bedingungen als Akzeptable Bedingungen. Zeigen Sie abstrakt Ausblenden abstrakt ABSTRAKT In dieser Arbeit präsentieren wir eine umgekehrte Form von autoregressiven integrierten beweglichen Mittelprozessen ARIMA von verschiedenen Ordnungen Die Untersuchung wurde auf dem Verhaltensmuster des Invertibilitätsparameters der ARIMA p, d, q für verschiedene p und d durchgeführt. Es war Abgeleitet, dass das Verhalten der Invertierbarkeit Parameter hängt von der Reihenfolge der autoregressiven Teil p, die Reihenfolge der integrierten Teil d, positive und negative Werte der gleitenden durchschnittlichen Parameter. Artikel Jan 2011 Fortschritte in Angewandter Wahrscheinlichkeit. Olusola Samuel Makinde Olusoga Akin Fasoranbaku. Zeigen Sie abstrakt Ausblenden abstraktes ABSTRAKT Das Spektralfaktorisierungsproblem wurde in Hallin 1984 für die Klasse der nichtstationären m-variate MA q stochastischen Prozesse, dh der Klasse der q-abhängigen Prozesse zweiter Ordnung, gelöst. Es wurde gezeigt, dass ein solches Verfahren im Allgemeinen ein Unendlich mq mq 1 2-dimensionale Familie möglicher MA q - Darstellungen Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den Invertierbarkeitseigenschaften und dem asymptotischen Verhalten dieser MA q-Modelle im Zusammenhang mit dem Problem der Herstellung asymptotisch effizienter Prognosen Invertierbare und grenzwertige, nicht invertierbare Modelle zeichnen Theoreme aus 3 1 und 3 2 Es wird ein Kriterium gegeben, in dem man prüfen kann, ob ein gegebenes MA-Modell eine Wold-Cramr-Zerlegung ist oder nicht, und es wird gezeigt, dass es unter milden Bedingungen fast jedes MA-Modell asymptotisch ist Identisch mit einer Wold-Cramr-Zersetzung Das Prognoseproblem wird im Detail untersucht und es wird festgestellt, dass das relevante Invertierbarkeitskonzept in Bezug auf asymptotische Prognoseeffizienz das, was wir als Granger-Andersen-Invertierbarkeit definieren, als das klassische Invertierbarkeitskonzept Theorem 5 3 Die Eigenschaften dieses neuen Invertierbarkeitskonzepts werden untersucht und mit denen des klassischen Gegenstücks Theorems 5 2 und 5 4 kontrastiert. Numerische Beispiele werden auch in Abschnitt 6 behandelt, was zeigt, dass nicht invertierbare Modelle asymptotisch effiziente Prognosen liefern können, während invertierbare Modelle in Einige Fälle, können nicht Die mathematischen Werkzeuge im ganzen Papier sind lineare Differenzen Gleichungen Green s Matrizen, adjungierte Operatoren, dominierte Lösungen, etc., und eine Matrix-Verallgemeinerung von fortgesetzten Fraktionen. Artikel März 1986.Marc Hallin.